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गणित में कई विभिन्न-विमीय आकृतियाँ पायी जाती हैं। उन प्रमुख आकृतियों में से ‘वर्ग’ एक प्रमुख द्विविमीय आकृति है।
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लगभग हर कक्षा में वर्ग से जुड़े प्रश्न जैसे वर्ग की परिभाषा, वर्ग के गुणधर्म या विशेषताएं, वर्ग का क्षेत्रफल और वर्ग का परिमाप का सूत्र व वर्ग की भुजा व विकर्ण ज्ञात करने का सूत्र आदि पूछे जाते हैं।
चलिए इन्हीं सवालों के जवाब एक सरल, सटीक व शोर्ट तरीके में जानते हैं।
वर्ग की परिभाषा (Definition)
वर्ग (Square) चार समान भुजाओं से घिरी हुई एक बंद द्विविमीय (जैसे – आयत, त्रिभुज, वर्ग आदि) आकृति होती है । अर्थात वर्ग एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएं समान होती हैं।
वर्ग की विशेषताएं (Properties)
- वर्ग की चारों भुजाएं समान लम्बाई की होती हैं।
- वर्ग की चारों भुजाओं पर बने कोण भी समान अर्थात समकोण (90°) होते हैं।
- वर्ग के दोनों विकर्ण भी समान होते हैं।
- वर्ग के दोनों विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
- वर्ग की आमने सामने की भुजाएं बराबर एवं समानान्तर होती हैं।
- वर्ग के विकर्ण की लम्बाई √2 x भुजा होती है।
- वर्ग एक चक्रीय चतुर्भुज होता है तथा ऐसा समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज व आयत है जिसकी चारो भुजाएं बराबर व प्रत्येक कोण 90 अंश का होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल (Area)
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई तरीकें/सूत्र हैं जो अलग-अलग परिस्तिथियों में काम में लिए जाते हैं।
प्रश्न में दी हुई माप के अनुसार वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कुछ मुख्य सूत्र निम्न हैं –
1. यदि वर्ग की भुजा दी हुई हो
यदि हमें वर्ग की भुजा की लम्बाई (s) मालूम होती है तो हम निम्न सूत्र के जरिये वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल (A) = भुजा² या s² = भुजा x भुजा
2. यदि वर्ग का विकर्ण दी हुई हो
यदि हम वर्ग के विकर्ण की लम्बाई (d) ज्ञात हो तो इस सूत्र के जरिये वर्ग का क्षेत्रफल निकला जा सकता है।
वर्ग का क्षेत्रफल (A) = 1/2 x विकर्ण² = विकर्ण x विकर्ण / 2 = विकर्ण² / 2
3. यदि वर्ग का परिमाप दिया हो
यदि हमें किसी वर्ग का परिमाप (p) पता हो तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम निम्न सूत्र का इस्तेमाल कर सकते हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल (A) = परिमाप / 4 x परिमाप / 4 = [परिमाप / 4] का वर्ग = परिमाप² / 16
वर्ग का परिमाप (Perimeter)
वर्ग के क्षेत्रफल की तरह वर्ग के परिमाप ज्ञात करने के भी कई तरीके हो सकते हैं जो हमारे पास वर्ग के बारे में उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करते हैं।
प्रश्न में दी हुई माप के अनुसार परिमाप ज्ञात करने के कुछ प्रमुख सूत्र निम्न हैं –
1. यदि वर्ग की भुजा दी हुई हो
यदि हमें वर्ग की भुजा की लम्बाई (s) पता होती है तो हम निम्न सूत्र से परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग का परिमाप (P) = चारों भुजाओं का योग = भुजा (s) x 4
2. यदि वर्ग का विकर्ण दी हुई हो
यदि हमें वर्ग के विकर्ण की लम्बाई (d) ज्ञात हो तो वर्ग के परिमाप का निम्न सूत्र इस्तेमाल किया जा सकता है।
वर्ग का परिमाप (P) = (विकर्ण / √2) x 4
3. यदि वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो
यदि हमें किसी वर्ग का क्षेत्रफल (a) मालूम हो तो इस फ़ॉर्मूला से हम सीधे वर्ग का परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग का परिमाप (P) = √क्षेत्रफल x 4
वर्ग की भुजा (Side)
एरिया और पेरिमीटर की तरह ही हम वर्ग की भुजा विभिन्न तरह से ज्ञात कर सकते हैं जैसे –
1. यदि वर्ग का विकर्ण दिया हो
यदि हमें विकर्ण की लम्बाई (d) ज्ञात हो तो हम वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कर सकते हैं जिसके लिए निम्न फॉर्मूला है।
वर्ग की भुजा (s) = विकर्ण (d) / √2
2. यदि वर्ग का परिमाप दिया हो
यदि हमें प्रश्न में वर्ग का परिमाप (p) ज्ञात है तो दिए हुए सूत्र से हम आसानी से वर्ग की भुजा ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग की भुजा (s) = परिमाप / 4
3. यदि वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो
अगर हमे वर्ग का क्षेत्रफल (a) विदित है तब भी हम सरलता से वर्ग की भुजा की लम्बाई इस सूत्र से मालूम कर पायेंगें।
वर्ग की भुजा (s) = √क्षेत्रफल
वर्ग का विकर्ण (Diagonal)
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई निकलने के लिए आप निम्न सूत्रों का इस्तेमाल कर सकते हैं –
1. यदि वर्ग की भुजा दी हुई हो
यदि हमें वर्ग की भुजा ज्ञात होती है तो हम विकर्ण की लम्बाई (d) ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं।
चूँकि दोनों विकर्ण समान लम्बाई के होते हैं तो हमें सिर्फ एक विकर्ण ज्ञात करना होगा। यदि हमें विकर्ण AC ज्ञात करना है तो हम △ADC या △ABC पर पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल कर सकते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय, △ADC में
कर्ण² = लम्ब² + आधार² अर्थात AC² = AD² + DC²
विकर्ण² = AD² + DC²
विकर्ण² = भुजा² + भुजा² = 2 x भुजा²
विकर्ण = √2 x भुजा² = √2 x भुजा
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई (D) = भुजा x √2
2. यदि वर्ग का परिमाप दिया हो
यदि हमारे पास वर्ग का परिमाप (p) हो तो अग्रलिखित तरीके से हम वर्ग के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कर सकते हैं।
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई (D) = (परिमाप / 4 ) x √2
3.यदि वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो
अगर हम वर्ग के क्षेत्रफल (a) की जानकारी रखते हैं तो दिए हुए क्षेत्रफल की मदद से हम इस सूत्र के जरिए वर्ग के विकर्ण की लम्बाई माप सकते हैं।
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई (D) = √क्षेत्रफल x √2 = √(क्षेत्रफलx2)
